طرق حل المعادلة التربيعية

أهداف هذه الوحدة
يتعرف إلى مفهوم الاقتران التربيعي ويميزه من بين اقترانات معطاة. .
يتعرف إلى مفهوم المعادلة التربيعية وصفر الاقتران وجذر المعادلة.
يحل المعادلة التربيعية المرافقة للاقتران التربيعي بالرسم.
يحل المعادلة التربيعية بتحليليها إلى عواملها.
يحل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع.
يحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام.
يجد مميز المعادلة التربيعية ويربط بين قيمته وجذري المعادلة التربيعية.
يكون المعادلة التربيعية إذا علم جذراها.
يتعرف إلى مفهوم المعادلة الكسرية ذات المتغير الواحد.
يحل المعادلات الكسرية التي تؤول إلى معادلات تربيعية.
يحل مسائل عملية تؤول إلى معادلات تربيعية.

الإقتران التربيعي و تمثيله بيانياً

الإقترانات المبين قاعدة كل منها إقتران تربيعي ؟
1.ص = ق (س) = س 1/ 2 + س , س > 0
2.ص = هـ (س) = س ( س – 1 ) +5
3.ص = ل (س) = 2 س + 1
4.ص = ع (س) = س 2 ( 3 – س ) + س+ 4
5.ص = و (س) = س ( - س2 + 1 ) + س 2 + س3

أصفار الإقتران التربيعي

مثال (1) :
إذا علمت ان ق إقتران , حيث ق (س) = 2 س2 – 7 س + 6 فهل العدد 2 صفر للإقتران ق ؟
الحل :
ق ( 2) = 2 ( 2)2 - 7 * 2 + 6 = 8 – 14 + 6 = .
إذن العدد 2 صفر للإقتران ق
مثال ( 2 ) :
جد أصفار الإقتران التالي ؟
ل : ل ( س ) = 4 – 4 س + س2
الحل :
ل ( س ) = س 2 - 4 س + 4 = 0
ل ( س ) = ( س – 2 ) ( س – 2 ) = 0
س – 2 = 0 إذن س = 2

حل المعادلة التربيعية بيانياً

مثال :
حل المعادلة التربيعية : 2 س2 – س – 6 = 0 بيانياً ؟
الحل :
ليكن ق (س) = 2 س2 – س – 6
ق ( 0) = 2 ( 0) 2 – 0 – 6 = - 6
ق ( 1) = 2 ( 1) 2– 1 – 6 = - 5
ق ( -1) = 2 ( -1) 2 – (-1) – 6 = - 3
تلاحظ ان منحنى الإقتران ق قطع محور السينات عندما س = 2 , س = -3/2
و عليه فإن للمعادلة حلين هما : س =2 , س = -3/2

حل المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى العوامل

مثال :
حل المعادلة التربيعية الاتية بطريقة التحليل إلى العوامل ؟
س 2– 5 س + 6 = 0
الحل : نحلل الطرف الأيمن للمعادلة التربيعية
( س – 3 ) ( س – 2 ) = 0 , و عليه فإن :
س – 3 = 0 و منه س = 3
أو س – 2 = 0 و منه س = 2

حل المعادلة التربيعية بإستخدام القانون العام

مثال :
حل المعادلة التربيعية س2 – 5 س + 2 = 0 بإستخدام القانون العام
الحل :
أ = 1 , ب = - 5 , ج = 2
س = - ب = +- ( ب 2 – 4 أ ج ) ½
2 أ
س = - (- 5 ) +- ( ( - 5) 2 – 4 ( 1 ) ( 2 ) ) ½
2 ( 1 )
س = 5 +- ( 25 – 8 ) ½
2
س = 5 +- ( 17 /2 )1/2
س = 5 + ( 17 /2 )1/2 أو س = 5 - ( 17 /2 )1/2

حل المعادلة الكسرية التي تؤول إلى تربيعية

مثال :
حل المعادلة ( 3 س – 5 ) / 8 = 3 / ( س + 3 )
الحل :
أضرب طرفي المعادلة في م.م.أ = 15 س , لتحصل على
15 س 2 – 25 س = 15 + 12 س2 – 21 س , ومنه
3 س2 - 4 س – 15 = 0 و بالتحليل إلى العوامل :
( 3 س + 5 ) ( س – 3 ) = 0
إما 3 س + 5 = 0 و منه س = - 5/3 أو س – 3 = 0 ومنه س = 3